بفافي مصفوفة

في الرياضيات، محدد مصفوفة متماثلة منحرفة يكتب دائما على شكل مربع لمتعددة حدود حدودها مداخل للمصفوفة A. متعددة الحدود هذه، هي ما يسمى ببفافي المصفوفة A (بالإنجليزية: Pfaffian)‏.

بفافي مصفوفة

معلومات عامة

صنف فرعي من	محدد
سُمِّي باسم	يوهان فريدريش بفاف
المكتشف أو المخترع	آرثر كيلي
زمن الاكتشاف أو الاختراع	1852
تعريف الصيغة	$\operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}$

سمي هذا المفهوم هكذا نسبة إلى يوهان فريدريش بفاف.

أمثلة

$A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf(A)} =a.$

$B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf(B)} =0.$

(3 is odd, so Pfaffian of B is 0)

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.$

The Pfaffian of a 2n × 2n skew-symmetric tridiagonal matrix is given as

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}\\-a_{1}&0&b_{1}\\0&-b_{1}&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&\ddots &\ddots \\&&&\ddots &&b_{n-1}\\&&&&-b_{n-1}&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.$

which contains the important case of a 2n × 2n skew-symmetric matrix with 2 × 2 blocks on the diagonal:

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$

(Note that any skew-symmetric matrix can be reduced to this form, see Spectral theory of a skew-symmetric matrix)

انظر أيضا

• محدد (مصفوفات)