اختبارات تقارب متسلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن السلسلة $S$ المكونة من مجموع حدود المتتالية $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}\!$

$S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots \!$

نعرف $S_{N}\!$ على انها سلسلة جزئية من $S\!$، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{N}\!$

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية $\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$.

هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية $\{a_{n}\}\!$ بمتتالية أخرى $\{b_{n}\}\!$ بحيث من أجل أي n،

إذا كان $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$، وكانت السلسلة $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ هي سلسلة متقاربة، فان$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ متقاربة حتماً.

أما إذا كان$0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$ وكانت السلسلة $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

• إذا كان $L<1$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
• في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي

عندما $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

وإذا وجد عدد$c>0\!$ بحيث

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c$ فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية $k=\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\!$

• إذا كان $k<1\!$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان $k>1\!$ فالسلسلة متباعدة.
• أما في حال $k=1\!$ فنقول أن المعيار غير دي جدوى.