هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي

في علم الرياضيات، وخاصة في علم الطوبولوجيا التفاضلية، فإن هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي يشير إلى هيكل الحزمة الشعاعية الطبيعي (TE,p_*,TM) الموجود على إجمالي الفضاء TE المخصص لحزمة المماس الخاصة بالحزمة الشعاعية السلسة (E,p,M)، الناتجة عن الدفع الأمامي p_*:TE→TM لخريطة الإسقاط الأصلية p:E→M.

في الحالة الخاصة (E,p,M)=(TM,π_TM,M)، حيث يكون TE=TTM هو حزمة المماس المزدوجة، والحزمة الشعاعية الثانوية (TTM,(π_TM)_*,TM) تكون متماثلة مع حزمة المماس (TTM,π_TTM,TM) لـ TM عبر الانعكاس المعياري.

بناء هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية

بفرض أن (E,p,M) هي الحزمة الشعاعية السلسة من الرتبة N. وبما أن الصورة الأصلية (p_*)⁻¹(X)⊂TE لأية شعاع مماس X∈TM في معامل الدفع الأمامي p_*:TE→TM الخاص بالإسقاط المعياري p:E→M هي تفرع ثانوي متعدد من فئة البُعد 2N، وتصبح مساحة شعاعية مع عوامل الدفع الأمامي

$+_{*}:T(E\times E)\to TE\quad ,\quad \lambda _{*}:TE\to TE$

للإضافة الأصلية والمضاعفة العددية غير الموجهة

$+:E\times E\to E\qquad ,\qquad \lambda :E\to E$

كما هو الحال في عمليات الفضاء الشعاعي. العامل الثلاثي (TE,p_*,TM) يصبح حزمة شعاعية سلسة مع وجود عمليات الفضاء الشعاعي على أليافه.

البرهان

بفرض أن (U,φ) هو نظام إحداثيات محلية على أساس العامل المتشعب M مع φ(x)=(x¹,...,xⁿ) وبفرض أن

$\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbb {R} ^{N}\quad ;\quad \psi (v^{k}e_{k}|_{x}):=(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N})$

يكون نظام إحداثيات على E ومتناسبًا معه. إذن

$p_{*}{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{p(v)},$

وبالتالي، فإن ألياف هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية عند X∈T_xM يكون في صورة

$p_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}\ {\Big |}\ v\in E_{x}\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.$

والآن يتضح أن

$\chi {\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}={\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{p(v)},(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}){\Big )}$

يعطي تسطيحًا محليًا χ:TW→TU×R^2N للقيمة (TE,p_*,TM)، وتُقرأ عوامل الدفع الأمامي الخاصة بعمليات الفضاء الشعاعي الأصلية في الإحداثيات المناسبة المُعدلة مثل

${\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}+_{*}{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{w}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v+w}$

و

$\lambda _{*}{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{\lambda v},$

وبالتالي، فإن كل واحد من الألياف (p_*)⁻¹(X)⊂TE هو مساحة شعاعية، والقيمة الثلاثية (TE,p_*,TM) هي الحزمة الشعاعية السلسة.

الاستقامة الخطية لروابط الحزم الشعاعية

تكون رابطة إيهريزمان العامة

$TE=HE\oplus VE$

على حزمة شعاعية (E,p,M) يمكن وصفها من حيث خريطة الرابط

$\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\qquad ;\qquad \kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X),$

حيث vl_v:E→V_vE هو عامل الرفع الرأسي، وvpr_v:T_vE→V_vE يكون الإسقاط الرأسي. ويكون الاقتران

$\nabla :TM\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\quad ;\quad \nabla _{X}v:=\kappa (v_{*}X)$

الناتج عن رابطة إيهريزمان هو المشتق الطردي المتغاير على Γ(E) بمعنى أن

• $\nabla _{X+Y}v=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v$
• $\nabla _{\lambda X}v=\lambda \nabla _{X}v$
• $\nabla _{X}(v+w)=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w$
• $\nabla _{X}(\lambda v)=\lambda \nabla _{X}v$
• $\nabla _{X}(fv)=X[f]v+f\nabla _{X}v$

وفقط إذا كانت خريطة الرابط خطية من ناحية هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية (TE,p_*,TM) على TE. فحينها يُطلق على الرابطة أنها خطية. لاحظ أن خريطة الرابط تكون خطية تلقائيًا مع هيكل حزمة المماس (TE,π_TE,E).

انظر أيضًا

• الرابطة (الحزمة الشعاعية)
• حزمة المماس المزدوجة
• رابطة إيهريزمان
• الحزمة الشعاعية

المراجع

• P.Michor. Topics in Differential Geometry, American Mathematical Society (2008).