هزاز توافقي

مسألة الهزّاز التوافقي البسيط من أهم مسائل ميكانيكا الكم والميكانيكا التقليدية، وللمبدأ تطبيقاتٌ كثيرةٌ إذ يشبه في ميكانيكا الكم حركة جسيم حول وضع التوازن باهتزازات بسيطة صغيرة على شكل هزّاز توافقي خطي.

هزاز توافقي رأسي.

من الاهتزازات الصّغيرة مثلاّ اهتزازات الذَرّات في جزيء أو اهتزازات الذَرّات في الشبكة البلّوريّة بفعل درجة الحرارة.

تشترط ميكانيكا الكم لحدوث الحركة التوافقية البسيطة لجسم ما أن يكون الجسم خاضعاً لقانون نيوتن الثاني وأن تكون قوي الاحتكاك المؤثرة على الجسم معدومة. ويجبُ أن يخضعَ الجسم لتأثير قوَّة مرنة من النوع:

$F=-kx\,$

$F=-m\omega ^{2}x\,$

حيثُ:

F القوة المؤثرة على الجسيم وتجذبه نحو نقطة التوازن

m كتلة الجسيم

k ثابت

x مسافة إزاحة الجسيم عن نقطة التوازن

و$\omega$ السرعة الزّاويّة (البندولية)

والعجلة $-\omega ^{2}x$

وتدل العلامة السالبة في المعادلة F = -k.x أن القوة F والإزاحة x في اتجاهين متضادين.

إن طاقة الوضع المختزنة في ياي مشدود بقدر ما تساوي الشغل المبذول في شده، وبالتالي إذا تأثر الياي بقوة مقدارها F فتحرك طرفه الحر إزاحة dx فإن dU=dW=F.dx، حيث U هي طاقة الوضع وW الشغل المبذول. وبالتالي يمكن الحصول على طاقة الوضع كالتالي:

$U=-\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}$

${F=-kx}\,$

$U=-\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}=-\int {-kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.$

يوضٍّح الشكل (1) تغيرات الطاقة الكامنة للجسيم مع الانزياح.

معادلة شرودنغر

في هذا التمثيل ، الإزاحة عن نقطة التوازن y=x.

صيغة معادلة شرودنغر للهزّاز التوافقي تصف الجسيم على أنه موجة Ψ وتـُعطى بالعلاقة:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x^{2}}{2}}\Psi =E\Psi$

وهذه المعادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}})\Psi =0$

إنّ الاختلاف المهم بين معادلة حركة الهزّاز التوافقي ومعادلة شرودنغر الموجية لحركة جسيم (ممثل في حركة موجية) في حفرة كمومية يكمن في أنّه لايوجد هنا جدران تحد من الحركة، ولذلك ليس للهزّاز التوافقي شروط حديّة. نجد للمعادلة السابقة حلا ً عند قيم معيّنة للطاقة (E) منفصلة، ومجموع هذه القيم تـُسمى القيم الخاصّة eigen value لهذه المعادلة.

يحتاج حل المعادلة التفاضلية السابقة إلى معرفة جيدة بالرياضيات الخاصّة بالمعادلات التفاضليّة ولذلك نكتفي هنا بإعطاء نتيجة الحلِّ، حيث أنّ الطاقة كمومية وتُعطى بالعلاقة:

$E_{n}=(n+{\frac {1}{2}})\hbar \omega$

حيث : n=0,1,2,3

ومن هذه العلاقة نرى أنّ طاقة الهزّاز التوافقي هي طاقة كموية ولها قيم منفصلة، والخطوة في طيف الطاقة هي (ħω).

نلاحظ أنّه عندما تكون 0=n ، يأخذ الهزّاز أدنى طاقة كمومية له وهي الحالة القاعية (الحالة الأرضية)، وهي : E_0=1/2. ħω

الأربعة حلول الأولى تعطى بالعلاقات $(\Psi _{n}(x$ ، حيث: n =0 ،1 ،2 ،3 ، وتنتج التوابع الموجيّة الآتية:

$\Psi _{0}(x)={\sqrt {\frac {b}{\sqrt {x}}}}\cdot e^{-b^{2}x^{2}/2}$

$\Psi _{1}(x)={\sqrt {\frac {b}{2{\sqrt {x}}}}}\cdot 2bxe^{-b^{2}x^{2}/2}$

$\Psi _{2}(x)={\sqrt {\frac {b}{8{\sqrt {x}}}}}\cdot (4b^{2}x^{2}-2)e^{-b^{2}x^{2}/2}$

$\Psi _{3}(x)={\sqrt {\frac {b}{48{\sqrt {x}}}}}\cdot (4b^{2}x^{2}-2)e^{-b^{2}x^{2}/2}$

حيث:

$b={\sqrt {m\omega /\hbar }}$

$\hbar$ هو ثابت بلانك

انظر أيضاً

• رقاص
• معادلة شرودنغر
• ميكانيكا الكم
• جسيم في صندوق