هرمية كثيرة الحدود

في نظرية التعقيد القسم PH هو قسم كل اللغات في هرم متعدد الحدود (Polynomial hierarchy)، وهذا القسم يشمل جزء لا بأس به من الاقسام المعروفة مثل: NP ,co-NP ... وله عدة تعريفات متكافئة.

تعريف

نعرف الاقسام التالية:

$\Sigma _{1}={\mbox{NP}}$
وبطريقة البناء عن طريق الاستقراء نعرف: $\Sigma _{i}={\mbox{NP}}^{\Sigma _{i-1}}$

في حين أنَّ:

{\mbox{NP}}^{C}

هي مجموعة اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج كثيرة الحدود غير قطعية مع امكانية الدخول إلى اوراكل من القسم C .

حينها:

{\mbox{PH}}=\cup _{i=0}^{\infty }\Sigma _{i}

2. نعرف القسم

\Sigma _{i}

بشكل اخر:

{\mbox{L}}\in \Sigma _{i}

إذا يوجد علاقة محدودة بكثير حدود وقابلة للتمييز بوقت كثير الحدود مع i+1 متغيرات حيث أنَّ:

x\in L\iff \exists y_{1}\forall y_{2}\cdots Q_{i}y_{i}(x,y_{1},y_{2},\cdots ,y_{i})\in R_{L}

في حين أنَّ

$Q_{i}={\begin{cases}\forall ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is even}}\\\exists ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

يمكن ان نبين أنَّ التعريفان متكافئان وذلك بواسطة الاستقراء لكل i .

على غرار co-NP , P يمكن تعريف اقسام مشابهة وهي:

$\Delta _{1}={\mbox{P}}$
$\Delta _{i}={\mbox{P}}^{\Delta _{i-1}}$
$\Pi _{1}={\mbox{co-NP}}$
$\Pi _{i}={\mbox{co-NP}}^{\Pi _{i-1}}$

ويمكن تعريف PH بواسطة $\Delta _{i}$ أو بواسطة $\Pi _{i}$ وذلك لانَّ:

$\Pi _{i}\subseteq \Sigma _{i+1}$
$\Sigma _{i}\subseteq \Pi _{i+1}$
$\Sigma _{i}\cup \Pi _{i}\subseteq \Delta _{i}\subseteq \Sigma _{i+1}\cap \Pi _{i+1}$

انهيار PH

نقول أنَّ PH انهارت إذا تحقق التالي:

يوجد k بحيث أنَّ $\Sigma _{k}=\Sigma _{k+1}$

حيث أنه إذا وجد k كهذا حينها: $\Sigma _{k}={\mbox{PH}}$ واغلب علماء الحاسوب والرياضيات يقولون بعدم انهيار الهرم كثير الحدود، ومع هذا فإنه غير معلوم إذا ما PH مُنهار أو لا !

علاقات مع اقسام أخرى

يمكن بسهولة تبيين أنَّ ${\mbox{PH}}\subseteq {\mbox{PSPACE}}$ . وذلك لاننا يمكننا تجربة كل الامكانيات كما في تعريف PH ونستخدم مساحة اضافية متعددة الحدود.
إذا ${\mbox{NP}}={\mbox{coNP}}$ حينها ${\mbox{PH=NP}}$
لكل i إذا $\Sigma _{i}=\Pi _{i}$ حينها ${\mbox{PH}}=\Sigma _{i}$
مبرهنة سبسر ولوتومان: ${\mbox{BPP}}\subseteq {\mbox{PH}}$
إذا ${\mbox{NP}}\subseteq {\mbox{P/Poly}}$ حينها: $\Sigma _{2}=\Pi _{2}$ أي انه ${\mbox{PH}}=\Sigma _{2}$ .
مبرهنة كانان: لكل k، $\Sigma _{2}$ لا يتبع القسم: (Size(n^k
مبرهنة تودا: ${\mbox{PH}}\subseteq P^{\#P}$

مسائل كاملة في Σ_i

لكل Σ_i يمكن تعريف المسألة التالية: Σ_iSAT :

المعطى: صيغة $\varphi ({\mbox{x,y}})$ والتي هي بشكل SAT

المخرج: هل صحيح أنَّ: $\exists x\forall y_{1}\exists y_{2}\cdots Q_{i}y_{i}\varphi ({\mbox{x}},{\mbox{y}}_{1},\cdots ,{\mbox{y}}_{i})$ حيث أنَّ:

$Q_{i}={\begin{cases}\forall ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is even}}\\\exists ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

هذه المسألة كاملة ل- $\Sigma _{i}$ . يمكن ايجاد مسائل أخرى كاملة ^[1] في الهامش.

مسائل كاملة في PH

لنفرض أن المسألة L هي كاملة في PH ، حينها يوجد k بحيث أنَّ ${\mbox{L}}\in \Sigma _{k}$ وبما أن هذه المسألة كاملة كل مسألة في PH يمكن اختزالها لهذه المسألة أي L ومن ضمن هذه المسائل نأخذ المسائل التي تتبع $\Sigma _{k+1}$ حينها كل مسألة كهذه تتبع أيضا $\Sigma _{k}$ وهذا يعني أنَّ $\Sigma _{k+1}\subseteq \Sigma _{k}$ وهذا يعني أنَّ $PH=\Sigma _{k}$ وهذا يعني أنَّ الهرم كثير الحدود ينهار ! لذا لا يمكن أن يكون هنالك مسائل كاملة الا إذا انهار PH . وهذا يعطي دليلا أنَّ PH و-PSPACE لا يمكن ان يكونا متساويتيين!