معادلة الاستمرارية

معادلة الاستمرارية أو معادلة الاستمرار أو معادلة الاتصال هي معادلة تفاضلية لوصف تدفق كمية فيزيائية محفوظة مثل دراسة الكتلة والشحنة الكهربائية وتجد تطبيقاتها في مجال جريان الموائع وفيزياء أشباه الموصلات والنظرية النسبية والكهرومغناطيسية وأخيرا ميكانيكا الكم.

الصورة العامة

الصورة العامة لمعادلة الاستمرارية هي معادلة تفاضلية بالصورة:

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {v} =s.\,$

حيث:

$\scriptstyle \varphi$ الكمية الفيزيائية ولتكن الشحنة الكهربائية.

$\nabla \cdot$ رمز تباعد في حسبان المتجهات.

$\mathbf {v}$ هي مجال متجهي يصف انسياب الكمية الفيزيائية مثل (التيار الكهربائي).

$s.\,$ معدل التزايد أو التلاشي. ويساوي صفرا لأي كمية فيزيائية محفوظة.

تطبيقات

قانون التصريف

في جريان الموائع، يربط قانون التصريف بين سرعة الانسياب وبين مساحة المقطع العرضي للانبوب، فكلما ضاق الانبوب، ازدادت السرعة، وهذا بديهي. رياضيا:

كتلة المياه الداخلة₁ = كتلة المياه الخارجة ₂

حجم الداخل₁ * الكثافة₁ = حجم الخارج₂ * الكثافة₂

مساحة المقطع₁ * المسافة₁ * الكثافة₁ = مساحة المقطع₂ * المسافة₂ * الكثافة₂

مساحة المقطع₁ * سرعة الانسياب₁ * الزمن₁ * الكثافة₁ = مساحة المقطع₂ * سرعة الانسياب₂ * الزمن₂ * الكثافة₂

وبما أن الزمن والكثافة متساويين.

إذن:

مساحة المقطع₁ * السرعة₁ = مساحة المقطع₂ * السرعة₂ أو:

س₁ X ع₁ = س ₂ X ع ₂

الكهرومغناطيسية

في الكهرومغناطيسية يمكن صياغة قانون حفظ الشحنة (قانون كيرشوف الثاني) على شكل معادلة مستمرة.

حيث ينص قانون أمبير على أن:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}.$

باجراء تباعد للطرفين $\nabla \cdot$, ينتج:

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t},$

و بما أن $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} =0$ في كل الأحوال، حيث A يمثل أي مجال متجهي أيا كان. ز هذه إحدى خواص الحسبان المتجهي.

$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}=0$

وبما أن قانون قاوس الكهربي ينص على أن:

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .\,$

إذن:

$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \rho \over \partial t}=0,\,$

وهذه صيغة مشابهة للصورة العامة لمعادلة الاستمرارية.

انظر أيضًا

• قوانين الحفظ
• مبرهنة نويثر
• معامل تصريف
• لوح الفتحة