مشتق اتجاهي

في الرياضيات، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين ${\vec {v}}$ عند نقطة معينة $x$ معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.

الترميز

لتكن $f$ دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة $f$ على طول متجه ${\vec {v}}$ بأي مما يلي:

• :$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )$،
• $f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )$،
• $D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )$،
• $Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )$،
• $\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )$،
• $\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}$،
• $\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.$

التعريف

خط منسوب للدالة $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة $\mathbf {u}$ تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول $\mathbf {u}$ باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة.

المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

على طول متجه :

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$

هو الدالة $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ المُعرفة بالنهاية التالية:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في $\mathbf {x}$، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$

بحيث $\nabla$ ترمز إلى التدرج و $\cdot$ هو الجداء النقطي، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :

${\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD_{f}(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D_{f}(x)(v)=\nabla _{v}f(x)-D_{f}(x)(v)\\\implies &\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D_{f}(x)(v)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}$

خصائص

الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال $f$ و $g$ معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في $p$، فهي تستوفي الخصائص الآتية:

1. قاعدة الجمع :

$\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.$

2 . قاعدة العامل الثابت :

$\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$

3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس) :

$\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.$

4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت $h$ قابلة للإشتقاق في $g(p)$ و $g$ في $p$) :

$\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).$

المشتق العمودي

المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما، إذا كان هذا المتجه هو ${\vec {n}}$، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :

${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].$

انظر أيضا

• مشتق جزئي
• تدرج
• هندسة تفاضلية