مستخدم:Mr-M/تمثيل زمرة منتهية

قالب:Entête label في الرياضيات، الزمرة هي عبارة عن بنية جبرية تتكون من مجموعة ذات قانون تركيب داخلي وحيد. هذا القانون يحقق بعض الخصائص: فهو تجميعي، ويحتوي على عنصر محايد وجميع عناصره لها معكوس. أما الزمرة المنتهية فهي زمرة عدد عناصرها منتهٍ. تخفي بساطة هذا التعريف أن بِنْيتُها يمكن أن تُصبح معقدة كثيرا إذا كانت رتبتها كبيرة، يعني عدد عناصرها يزيد. تمثيل زمرة منتهية هو طريقة لدراسة مثل هذه البنية. إنها بمثابة دراسة الزمرة كمجموعة من تماثلات الفضاء الإقليدي. على سبيل المثال، يتم تمثيل زمرة التبديلات لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر كمجموعة من التطبيقات الخطية للمستوى التي تمر من ثابت معلوم وهو مثلث متساوي الأضلاع مركزه نقطة الأصل. .

يُقسّم التمثيل إلى عناصر بسيطة، تسمى تمثيلات غير قابلة للاختزال ويكون عددها منتهٍ. وهي تمثل الحجر الأساس الذي يجعل من الممكن بناء جميع التمثيلات. تلعب الهندسة الإقليدية دورًا في هذا الكون. يًقسّم أي تمثيل إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال تعمل على مساحات أصغر، وكلها متعامدة مع بعضها البعض. طريقة واحدة لدراسة تمثيل معين هو النظر في التطبيق الذي يربط عنصر من عناصر الزمرة، بمجموع معاملات المصفوفة هذه الأخيرة تمثل صورة التطبيق الخطي. هذا التطبيق نسميه أحرف التمثيل. وهو أيضا جزء من فضاء إقليدي يسمى فضاء الدوال المركزية. تتكون القاعدة الطبيعية المتعامدة لهذا الفضاء من أحرف التمثيلات غير القابلة للاختزال وحِساب إحداثيات كل حرف في هذه القاعدة يجعل التقسيم إلى عناصر بسيطة ممكناً. كما هو الحال في الجبر، تكون الدراسة أبسط إذا استخدمنا أرقامًا خيالية في الفضاء المتجهي. يتم بعد ذلك تعريف الجداء السُّلَمي المذكور هنا بأعداد معقدة، ونتحدث أحيانًا عن الجداء الهيرميتي والهندسة الهيرميتية.

تاريخيا، ظهر أن هذه النظرية تجيب على سؤال في نظرية غالوا. دراسة حلول معادلة متعددة الحدود تؤدي إلى دراسة تمثيل زمرة تسمى زمرة غالوا. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، بحث عالم الرياضيات الألماني ديدكايند، عن تعميل معادلة من الدرجة الرابعة لزمرة غالوا، يمكن أن تُعَمَّل هذه المجموعات من الزمر الفرعية العادية بالطريقة نفسها، بحيث نحصل على مجموعة مكونة من زمر فرعية عادية وبسيطة، تسمى قائمة عوامل المجموعة البسيطة، والتي تعد وحيدة لكل منها، وبالتالي مشتركة بين جميع التعميلات لزمرة واحدة على الأقل (ولكن يجب ألا ننسى أن العديد من المجموعات يمكن أن يكون لها نفس العوامل البسيطة!) ^{[ المرجع. المطلوب ]} . إذ أن المهمة ليست ليست، لأن مثل هذه الزمرة تُمثّل ب24 مصفوفة من كل 242 ! = 576 عامل. فلم ينجح، فكتب إلى فرديناند جورج فروبنيوس، الذي سرعان ما فهم لماذا الأحرف هي الإجابة على هذا السؤال الحساس وكيفية حل الصعوبة. توقع فروبنيوس أن لديه نهج مثمر هنا، مما فتح الطريق لنظريته الواسعة، مصدر التقدم في نظرية الزمر. Catégorie:Article à référence souhaitée تقدم هذه النظرية في الواقع أدوات قوية لتوضيح نظرية الزمر المنتهية، مما يسمح على سبيل المثال بتحديد مدى قابلية الزمرة للحلحة وفقًا لرتبتها. بالطريقة الأقل رواية، يمثل تمثيل الزمر المنتهية أداة التصنيف الأساسية. المساهمة الجبرية لا تتوقف عند هذا الحد. تضاف التطبيقات الخطية، التي تجعل من الممكن تحديد حلقة ما، إذا أخذنا بعين الاعتبار الفضاء المتجهي الناتج عن صور الزمرة. تتداخل أدوات تمثيل زمرة منتهية في دراسة بنية الحلقة، كما يتضح من نظرية آرتن ويدربورن. في الأخير، نظرية غالوا، مصدر عمل فروبنيوس، لا يجب تجاوزها. من خلال نظرية الحقول الفصلية أو تلك الأقل نجاحًا في برنامج لانغلاندس، يكون تمثيل الزمر في صميم البحث الرياضي الحالي.

تاريخ

قبل العروض

نظرية الزمر المنتهية

ايفاريست غالوا (1811-1832).

كارل فريدريش جاوس.

نظرية الزمر لها أصولها في دراسة زمرة تقابل مجموعة منتهية. هذا المفهوم، يسمى التبديل، حتى القرن السابع عشر على الأقل. استخدم الياباني سيكي تاكاكازو (1642 - 1708) والألماني ^[1] غوتفريد لايبنتس (1646 - 1716) التباديل ومفهوم التوقيع لتحديد المحددة في فضاء ثلاثي أو رباعي الأبعاد. الاستخدام الأكثر منهجية هو عمل لاغرانج ^[2] وفاندرموند ^[3] في سياق المعادلة متعددة الحدود. من ناحية أخرى، لا تعتبر مجموعة التباديل، في أي من الحالات المذكورة، بمثابة بنية تَتضمَّنُ قانوناً داخلياً.

شهد فجر القرن التاسع عشر مساهمة ذات أهمية أساسية لنظرية الزمر المنتهية. في عام 1801، استخدم كارل فريدريش غاوس ^[4] الزمر الدورية لإيجاد حساب معياري ولحل المعادلة السيكلومترية بمؤشر عدد فيرما الأولي. استخدمت مؤخراً مجموعة منتهية تحتوي على عملية داخلية لتعطي بنية للزمرة. تصبح معرفة مثل هذه البنية ضرورية لأي عالم رياضيات يدرس الحساب. ومع ذلك، لم يشهد غاوس طوال حياته، فائدة الصياغة.

إيفاريست غالوا (1811 - 1832)، وإتماماً لأعمال ^[5] عالم الرياضيات النرويجي نيلز أبيل (1802 - 1829) قام بتحقيق قفزة كمؤسس لعلم الجبر الحديث. من خلال مسألة المعادلة الجبرية، حيث اكتشف ^[6] نطاق المجال التطبيقي للبنية، وليس هذا فقط بل أكثر من ذلك، حيث أثار بنيات جديدة مع فكرة المجموعة المجردة. لم ينظر إلى حجم عمله من قبل المجتمع حتى بعد خمسة عشر عامًا، عندما أعاد ^[7] جوزيف ليوفيل اكتشاف كتابات غالوا في عام 1846 ووضع نظرية المجموعات المنتهية باعتبارها موضوعا من المستوى الرفيع. ونشر أوغستين كوشي خمسة وعشرون مقالاً حول هذا السؤال، بما في ذلك مقالةً عن نظريته الشهيرة ^[8]. وقدم آرثر كايلي أول تعريف تجريدي للمجموعة ^[9]، وامتد مجال التطبيق، في عام 1877، حيث لاحظ فيليكس كلاين ^[10] أن الزمرة تقايس تغيرات عشروني السطوح متساوي الشكل مع زمرة غالوا لمعادلة خماسية، منذ ميلاد الهندسة الجبرية وتلعب الزمر المنتهية فيها دور رئيسي. ولزيادة المعرفة بالموضوع، وضع لودفيج سيلو نظرياته الشهيرة ^[11] في عام 1872، وقدم هاينريش فيبر تعريف الزمرة الحديث ^[12] في عام 1895.

الحرف وزمرة التشاكل الذاتي

ريتشارد ديدكايند (1831-1916)، مؤسس نظرية محددات الزمرة، لإيجاد التمثيلات.

أداة أساسية لتمثيل الزمر هي الحرف. إنه يتوافق، مع النظرة الحديثة، في أثر التشاكلات الذاتية المختلفة المُقابِلة للزمرة الممثلة.

يمكننا أن نستشهد برمز ليجاندر، في القرن السابق لتفسير قانون التقابل التربيعي، كمثال أول، وعلى مقربة من هذا الرمز، استخدم غوستاف دركليه لأول مرة مصطلح الحرف ^[13] لدالة جداءية.

قام ريتشارد ديدكايند بنقل الأفكار المرتبطة بالزمر المنتية. وعرف رسميا مفهوم حرف الزمرة التبادلية المنتهية بمثابة تشاكل لهذه الزمرة في الأعداد المركبة غير المنعدمة.^[14] ومعروف أيضا أن الأحرف تكون علاقاتها متعامدة، ولكن فقط في السياق التبادلي.

أخيرًا، فكرة زمرة منتهية لتشاكل ذاتي لم تكن غير معروفة بشكل كبير. درس كاميل جوردان، في عام 1870، زمرات غالوا ^[15] كزمرة من المصفوفات التي أطلق عليها الزمرة الخطية. قام بدراستها في حالة الحقول المنتهية الأولية، يعني عمدة الأعداد الأولية وتعامل مع حالة تحليل التشاكل الذاتي الوحيد إلى عوامل. وكان فيليكس كلاين، منذ برنامجه الشهير إرلَنغن، على دراية بهذا المفهوم. وقاما ليوبلد كرونكر وريتشارد ديدكايند بتطوير وبناء نظرية الحلقات والحقول. ^[16] لا يمكن تعريف زمرة غالو فقط من خلال التشاكلات الذاتية ولا كزمرة التبديلات الجذرية.

إذا كانت فكرة تجسيد زمرة منتهية كعائلة من التشاكلات الذاتية مفهومة تمامًا في نهاية هذا القرن، فإنها تواجه صعوبة حقيقية. على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة من الدرجة الرابعة، تضم الزمرة 24 عنصرًا بالفعل، كل منها يتوافق مع مصفوفة 24 × 24. وطور ديدكايند طريقة أخرى وهي محددات الزمرة.

في عام 1896، طُوِّرَت نظرية الزمر المنتهية بشكل كبير، وكذلك الأدوات اللازمة لتطوير نظرية التمثيلات. ومع ذلك، فإن الحجم والتعقيد الحسابي يمثلان حاجزًا لم يجد ديدكايند طريقة للتغلب عليه. فقام بإرسال رسالتين إلى فرديناند جورج فروبنيوس حول هذا الموضوع، ^[17] في 25 مارس و 6 أبريل 1896. مُسْتَقْبِلُ الرسالتين ليس مبتدئًا، لقد برهن، على سبيل المثال، نظريات سيلو في حالة الزمر التجريدية ^[18] وأعاد مع لودويغ سكيلكلبر ^{[الإنجليزية]} صياغة تجريد نظرية كرونكر حول بنية الزمر التبادلية المنتهية ^[19] .

ميلاد النظرية (1896)

رسالة من Frobenius إلى ديدكايند في 12 أبريل 1896.

هناك القليل من النظريات التي لها تاريخ ميلاد محدد. الزمر على سبيل المثال ظهرت شيئًا فشيئًا، من لاغرانج إلى التعريف الدقيق لويبر، حيث تطورت ببطيء وباستمرار. باستثناء نظرية التمثيل، حيث يربط المؤرخون وبشكلٍ منهجي مولدها بشهر أبريل ^[20] 1896.

الملاحضات والمراجع

^ L. Couturat, La logique de Leibniz (Hildesheim, 1961).
^ J.-L. Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770.
^ A.-T. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, 1771.
^ (باللاتينية) C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801.
^ N. H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824.
^ E. Galois, « Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques », Journal de mathématiques pures et appliquées, 1846.
^ J. Liouville, « Œuvres mathématiques d'Évariste Galois Suivie d'un avertissement de Liouville », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. X, 1846.
^ A. L. Cauchy, Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque, 1845.
^ A. Cayley (1854). "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ=1". Philos. Mag. (بالإنجليزية). 7 (4): 40–47. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |year= (help).
^ F. Klein, Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré, 1877.
^ M. L. Sylow (1872). "Théorème sur les groupes de substitutions". Mathematische Annalen. ج. V: 584-594..
^ (بالألمانية) H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Braunschweig, 1924.
^ (بالألمانية) G. Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, قالب:3e, Vieweg, Braunschweig, 1879.
^ Tsit Yuen Lam (1998). "Representation of finite groups: A Hundred years, Part I". Notices AMS (بالإنجليزية). 45. Lam, Part I., pdf, ps, ص. 363 .
^ C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870.
^ R. Dedekind (1871). "Sur la théorie des nombres entiers algébriques". Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. 2. ج. 1 ع. 1: 207-248. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |year= (مساعدة).
^ Lam, Part I.
^ G. Frobenius (1887). "Neuer Beweis des Sylowschen Satzes". J. reine angew. Math. (بالألمانية). 100: 179-181. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |year= (help).
^ G. Frobenius; L. Stickelberger (1879). "Über Gruppen von vertauschbaren Elementen". J. reine angew. Math. (بالألمانية). 86: 217-262..
^ (بالإنجليزية) C. W. Curtis, « Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer », Math. Intelligencer, 1992, ص. 48-57 .

انظر أيضا

وصلات خارجية

"TD Représentation des groupes finis" (PDF). 2005–2006.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link) du cours de M2 de Michel Broué (Université Paris VII - Diderot), et corrigé
"Representation of finite groups: A Hundred years, Part II" (ps) (بالإنجليزية).
(بالإنجليزية) Peter Webb, Finite Group Representations for the Pure Mathematician

مصادر

ن. بوربكي ، عناصر الرياضيات ، الجبر ، الفصل. VIII
بيير كولمز ، عناصر التحليل والجبر (ونظرية الأعداد) ، Éditions de l'École polytechnique [ اقرأ على الإنترنت ]
(en) مارشال هول ، الابن ، نظرية المجموعات [ تفاصيل الطبعات ]
Anthony W. Knappتصنيف:صفحات بها وصلات إنترويكي ^{[الإنجليزية]}lang (1996). "Group representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II" (PDF). Notices Amer. Math. Soc. (بالإنجليزية). 43 (5). Archived from the original (PDF) on 3 avril 2007. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |archivedate= (help) and تأكد من صحة قيمة |last= (help) Anthony W. Knappتصنيف:صفحات بها وصلات إنترويكي ^{[الإنجليزية]}lang (1996). "Group representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II" (PDF). Notices Amer. Math. Soc. (بالإنجليزية). 43 (5). Archived from the original (PDF) on 3 avril 2007. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |archivedate= (help) and تأكد من صحة قيمة |last= (help) Anthony W. Knappتصنيف:صفحات بها وصلات إنترويكي ^{[الإنجليزية]}lang (1996). "Group representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II" (PDF). Notices Amer. Math. Soc. (بالإنجليزية). 43 (5). Archived from the original (PDF) on 3 avril 2007. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |archivedate= (help) and تأكد من صحة قيمة |last= (help) Anthony W. Knappتصنيف:صفحات بها وصلات إنترويكي ^{[الإنجليزية]}lang (1996). "Group representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II" (PDF). Notices Amer. Math. Soc. (بالإنجليزية). 43 (5). Archived from the original (PDF) on 3 avril 2007. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |archivedate= (help) and تأكد من صحة قيمة |last= (help) Anthony W. Knappتصنيف:صفحات بها وصلات إنترويكي ^{[الإنجليزية]}lang (1996). "Group representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II" (PDF). Notices Amer. Math. Soc. (بالإنجليزية). 43 (5). Archived from the original (PDF) on 3 avril 2007. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |archivedate= (help) and تأكد من صحة قيمة |last= (help)
Serge لانج ، الجبر [ تفاصيل الطبعات ]
Jean-Pierre سيري ، التمثيل الخطي للمجموعات المحدودة [ تفاصيل الطبعات ]

قالب:Palette

[[تصنيف:نظرية التمثيل (جبر)]] [[تصنيف:بوابة علوم/مقالات متعلقة]] [[تصنيف:بوابة رياضيات/مقالات متعلقة]]

[1] L. Couturat, La logique de Leibniz (Hildesheim, 1961).

[2] J.-L. Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770.

[3] A.-T. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, 1771.

[4] (باللاتينية) C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801.

[5] N. H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824.

[6] E. Galois, « Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques », Journal de mathématiques pures et appliquées, 1846.

[7] J. Liouville, « Œuvres mathématiques d'Évariste Galois Suivie d'un avertissement de Liouville », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. X, 1846.

[8] A. L. Cauchy, Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque, 1845.

[9] A. Cayley (1854). "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ=1". Philos. Mag. (بالإنجليزية). 7 (4): 40–47. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |year= (help).

[10] F. Klein, Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré, 1877.

[11] M. L. Sylow (1872). "Théorème sur les groupes de substitutions". Mathematische Annalen. ج. V: 584-594..

[12] (بالألمانية) H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Braunschweig, 1924.

[13] (بالألمانية) G. Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, قالب:3e, Vieweg, Braunschweig, 1879.

[14] Tsit Yuen Lam (1998). "Representation of finite groups: A Hundred years, Part I". Notices AMS (بالإنجليزية). 45. Lam, Part I., pdf, ps, ص. 363 .

[15] C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870.

[16] R. Dedekind (1871). "Sur la théorie des nombres entiers algébriques". Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. 2. ج. 1 ع. 1: 207-248. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |year= (مساعدة).

[17] Lam, Part I.

[18] G. Frobenius (1887). "Neuer Beweis des Sylowschen Satzes". J. reine angew. Math. (بالألمانية). 100: 179-181. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |year= (help).

[19] G. Frobenius; L. Stickelberger (1879). "Über Gruppen von vertauschbaren Elementen". J. reine angew. Math. (بالألمانية). 86: 217-262..

[20] (بالإنجليزية) C. W. Curtis, « Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer », Math. Intelligencer, 1992, ص. 48-57 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]