مستخدم:Elsayed Taha/برهان مبرهنة فيرما الأخيرة بالنسبة لحالات خاصة للأس

برهان للحالة الأولى

في هذه الحالة، فإن عاملي z³ هما عددين أوليين نسبيين. ويعني هذا أن ثلاثة لا تقسم u وأن العاملين عبارة عن مكعبين عددين أصغر، r وs

2u = r³

u² + 3v² = s³

بما أن قيمة u² + 3v ² هي عدد فردي، وكذلك قيمة s المكافئة. توضح ليمة مهمة أنه إذا كانت s فردية وتتحقق بالمعادلة التالية s³ = u² + 3v²، فإننا نستطيع كتابتها باستخدام عددين صحيحين e وf على النحو التالي

s = e² + 3f²

بحيث أن

u = e ( e² − 9f²)

v = 3f ( e² − f²)

وبما أن u وv هما عددين أوليين نسبيين، فإن e وf هما عددين أوليين نسبيين أيضًا. بما أن u زوجي وv فردي، فإن e زوجي وf فردي. لأن

r³ = 2u = 2e (e − 3f)(e + 3f)

العوامل 2e و(e – 3f) و(e + 3f) هي أعداد أولية نسبية لأن 3 لا تقسم e: إذا كانت e قابلة للقسمة على 3، فإن 3 ستقسم u، مما سيخل بتعريف u وv كأعداد أولية نسبية. ولأن العوامل الثلاثة الموجودة على الجانب الأيمن هي أعداد أولية نسبية، فسيصبح كل عدد مكعب عدد صحيح أصغر منه

−2e = k³

e − 3f = l³

e + 3f = m³

لنصل للحل الصفري التالي k³ + l³ + m³ = 0. لذا باستخدام حجة النزول اللانهائي، نصل لاستحالة تحقق الحل الأصلي (x ،y ، z).

برهان للحالة الثانية

في هذه الحالة، القاسم المشترك الأكبر لـ 2u وu² + 3v² هو 3. مما يعني أن 3 تقسم u، ويمكننا أن نكتب u=3w بدلالة عدد صحيح أصغر w. بما أن u تقبل القسمة على 4، كذا أيضًا w؛ وبالتالي فإن w تكون عددا زوجيا. ونظرًا لأن u وv هما أعداد أولية نسبية، بالتالي v وw هما أعداد أولية نسبية. وبالتالي لا تقبل v القسمة على 3 أو 4.

بالتعويض عن u بـ w في معادلة z³ نحصل على

z³ = 6w (9w² + 3v²) = 18w (3w² + v²)−

ولأن v وw هما أعداد أولية نسبية، ولأن v لا تقبل القسمة على 3، فإن 18w و3w²+v² هي أيضًا أعداد أولية نسبية. ولأن حاصل ضربهم عبارة عن مكعب، فإن كلا منهم يمثل مكعب عدد صحيح أصغر، r وs

18w = r³

3w² + v² = s³

باستخدام الليما أعلاه، ولأن s فردية ومكعبها يساوي عددًا على الشكل التالي 3w² + v²، يمكن أيضًا كتابتها بأستخدام عددين أوليين نسبيين أصغر، e وf على النحو التالي

s = e² + 3f²

لنصل للشكل التالي

v = e (e² − 9f²)

w = 3f (e² − f²)

ومنه نصل إلى أن e عدد فردي و f عدد زوجي لأن v عدد فردي. وتصبح قيمة 18w على النحو التالي

r³ = 18w = 54f (e² − f²) = 54f (e + f) (e − f) = 3³×2f (e + f) (e − f).

بما أن 3³ تقسم r³ ونعرف أن 3 تقسم r، لذا تكون قيمة (r/3)³ هي عدد صحيح مساوي لـ 2f (e + f) (e − f). بما أن e و f هما عددين أوليين نسبيين، فإن العوامل الثلاثة 2f و e+f و e−f هي أيضا أعداد أولية نسبية؛ لذا فكل عدد منهم هو مكعب لعدد صحيح أصغر، k وl وm.

−2f = k³

e + f = l³

e − f = m³

لنصل للحل الصفري التالي k³ + l³ + m³ = 0. لذا باستخدام حجة النزول اللانهائي، نصل لاستحالة تحقق الحل الأصلي (x ،y ، z). [[تصنيف:مبرهنة فيرما الأخيرة]] [[تصنيف:مقالات تحتوي على براهين رياضية]]