مستخدم:زيد محمد عيد العطار/ملعب

الحقول FIELDS

تعريف الحقل : الحلقة (. , + , F ) يقال لها حقل بشرط ان الزوج ( . , { 0 } ,F ) يشكل زمرة تبديلية ( المحايد في هذه الزمرة يكتب 1 )

يجب ان يكون واضح ان اي حقل ( . , + , F ) يجب ان يحوي في الاقل عنصرا واحد غير صفري لان { 0 } - F ليست خالية بكونها مجموعة عناصر زمرة

الحقل هو حلقة تبديلية بمحايد فيها كل عنصر غير صفري له معكوس بفعل الضرب

يرمز للمعكوس الضربي ب $a^{-}1$ وللمعكوس الجمعي - a

تعريف وتوضيح

مثال 1: كلا النظامين ( . , + , * R ) و ( . , + , Q ) حيث + , . تشيران الى الجمع والضرب الاعتيايدين مثالين لحقلين

مثال 2 : لتكن F مجموعة الاعداد الحقيقية التي بالصيغة ${\textstyle a+b\surd 3}$ حيث a , b عددان نسبيان { ${a+b\surd 3|a,b\in Q}$} = F

اهم نظريات الحقول

نظرية 1 : اذا كان ( . , + , F) حقلا و $a,b\in F$ مع كون a.b = 0 فاما a =0 او b = 0

نظرية 2: اي حلقة منتهية تامة منتهية ( . , + , R) هي حقل

نظرية 3 : حلقة الاعداد الصحيحة ( . , + , Zn ) معيار n تكون حقلا اذا وفقط اذا كان n عدد اوليا

الحقل الجزئي subfield

ليكن ( . , + , F ) حقلا ما ، واذا كانت k مجموعة جزئية غير خالية ممن F . نقول ان k حقل جزئي من الحقل ( . , + , F ) اذا كان ( . , + , K) حقلا حيث ان عمليتي الجمع ( +) والضرب ( . ) هما عمليتي الحقل ( . , + , F ) ومنها نستنتج ان لكل حقل يوجد له حقل جزئي مبتذل وهو الحقل نفسه .

ان الشرط اللازم والكافي لكي يكون ( . , + , K ) حقلا جزئيا من الحقل ( . , + , F) هو ان يتحقق الشرطان التاليان :

(1) اذا كان x , y عنصرين ما من K ، فان x - y $\in$ k

(2) اذا كان x , y عنصرين ما من K ، واذا كان y$\neq$0 فان x . y^-1$\in$ k حيث 0 هو صفر الحقل ( . , + , F )

امثلة على الحقل الجزئي

>الحقل ( . , + , Q ) هو حقل جزئي من الحقل ( . + , R )

>لحقل ( . , + , R ) هو حقل جزئي من الحقل ( . , + , ₵)

> s={ a+b$\surd$5; a,b $\in$Q}s هي حقل جزئي من الحقل ( . , + , R)

اهم نظريات الحقل الجزئي

نظرية 1 : اذا كان ( . , + , F ) حقلا ابداليا ما ، ويرمز الى المحايد ب 0 ، ولتكن K مجموعة جزئية غير خالية من F ، اذا كانت ( اذا كانت ( . , + , K ) حلقة تامة ،

واذا كانت{$a.b^{-}1:a,b\in k,b\neq 0$}= s فان ( . , + , S ) حقل جزئي من الحقل ( . , + , F ) يحوي K , وهو اصغر حقل جزئي من الحقل ( . , + , بF ) يحوي K

نظرية 2 : اذا كانت ( . , + , R) حلقة ابدالية بمحايد مثالياتها ، فقط المثاليان التافهان فان ( . , + ,R ) حقل .

نتيجة : ليكن ( . , + , F) عندئذ F لا يحوي سوى مثاليتين فقط وهما { 0 } , F .

تمديد الحقول Field extension

نظرية امتداد الحقول تشكل اساسا لنظرية غالوا من اجل ايجاد اصفار لكثيرات الحدود على حقل ما

تعريف : اذا كان E $\supseteq$F حلقتين ، حيث ان F حلقة جزئية ل E ، نسمي F بحقل جزئي من E و E يسمى extension للحقل F

اذا كان E امتداد للحقل F ، فان الحقل E يشكل فضاء متجهي على الحقل F

درجة الامتداد > اذا كان $n=[E:F]$ عندها نقول ان الامتداد منته ، ونكتب في هذه الحالة : dim_f E =$[E:F]$ ، غير ذلك نقول ان الامتداد غير منته .

العنصر الجبري > نقول عن العنصر E $u\in$ حيث ان الحقل E امتداد للحقل F ، انه جبري على الحقل F ، اذا وجدت كثيرة حدود غير صفرية ، ولتكن $f(x)\in F[X]$ بحيث يكون u جذرا لها على الحقل F ، اي اذا تحقق $f(u)=0$ واذا لم يكن بالامكان ايجاد مثل هذا العنصر u في الحقل E ، فاننا نقول ان العنصر u غير جبري او متسام على الحقل F

الامتداد الجبري > نقول عن الامتداد E على الحقل F ، انه امتداد جبري، اذا كان كل عنصر من E جبري على الحقل F . غير ذلك ، نسمي امتداد E للحقل F امتدادا غير جبريا او امتدادا متساميا على الحقل F .

امثلة على تمديد الحقول

مثال (1) ان $R\subseteq C$ هو امتداد منتهي و $[C:R]=2$ ، لان المجموعة$\{1,i\}$ تشكل قاعدة ل R بالنسبة للحقل المركب ₵ .

مثال (2) العددان 2^(1/3) و i جبريان على حقل الاعداد النسبية Q لانهما جذران لكثيرة الحدود : $x^{3}-3$ و $x^{2}+1$ على الترتيب

مثال (3) العدد $u=\surd 2-\surd 3$ جبري على الحقل Q .

<> الاعداد الحقيقية والمركبة ليست جميعها اعداد جبرية على حقل الاعداد النسبية Q ، ففي عام 1873 ، اثبت الرياضي هيرميت Hermit ان العدد النيبير e متسام وشارك في برهان ذلك الرياضي الالماني هيلبرت (Hilbert) ، كما اثبت الرياضيين جلفاند وشنايدر انه اذا كان v,u عددان جبريان ، وكان v عدد غير نسبي فان a^b عدد متسام على الحقل Q . وبرهن الرياضي الالماني لندمان ان العدد π متسام ، وكان ذلك في عام 1882 .

نظريات تمديد الحقول

نظرية (1) اذا كان $F\subseteq E$ امتداد منتهيا ، اي ان $n=[E:F]$ وليكن u عنصرا من الحقل E ، عندئذ توجد كثيرة حدود غير صفرية $0\neq f(x)\in F[X]$ بحيث تكون $degf\leq n$ و $f(u)=0$ .

الامتداد البسيط

تعريف > ليكن E امتداد للحقل F ، واذا كان $a\in E$ نقول ان E امتداد بسيط للحقل F ، اذا كان $F(a)=E$ .

الحقل المولد Genearted field :

ليكن E امتداد للحقل F ، ولتكن u₁ , u_{2 ,}....... u_n عناصر من E . نسمي الحقل المكون من ضم العناصر u₁ , u_{2 ,}....... u_n الى الحقل F ، بالحقل المولد بالعناصر u₁ , u_{2 ,}....... u_n على الحقل F .

كثيرة الحدود الصغرى Minimal polynomial :

اذا كان E امتدادا للحقل F ، وكان $u\in E$ عنصرا جبريا على F ، نسمي كثيرة الحدود الواحدية $m=m(x)$ والتي درجتها اصغر ما يمكن ، حيث ان 0 = (m(u بكثيرة حدود صغرى ( الاصغرية ) للعنصر u على الحقل F ، ودرجة كثير الحدود الصغرى m تسمى بدرجة العنصر u على F ، ونرمز لذلك ب (deg_F (u .

نظريات كثيرات الحدود

نظرية (1) اذا كان E امتداد للحقل F ، وكان $u\in E$ عنصرا جبريا على F ، ويفرض ان $m=m(x)$ كثيرة حدود حدود صغرى ، عندئذ يتجقق ما يلي :

1) m غير قابلة للتحليل على الحقل F .

2) اذا كانت $f=f(x)\in F[X]$ كثيرة حدود على الحقل F ، فان $f(u)=0$ اذا ، وفقط اذا كان m/f .

3) (m(x كثيرة حدود وحيدة تتحدد بالعنصر u .

مبرهنة الضرب Multiplication theorem :

اذا كان K امتدادا للحقل E ، وكان E امتدادا للحقل F ، عندئذ يكون امتداد الحقل K للحقل F منتهيا اذا ، وفقط اذا ، كان [ K:E ] و [ E : F ] منتهيا ، وفي هذه الحالة يتحقق : $[K:F]=[K:E].[E:F]$

<> اذا كان E امتدادا للحقل F ، وليكن $u\in E$ عنصرا جبريا على الحقل F , وبفرض ان $v\in F(U)$ ، عندئذ v عنصر جبري على F ويكون : $deg(v)/deg(u)$ .

مبرهنة كروينكر Kronecker theorem :

ليكن ( . , + , F ) حقلا ما ، واذا كانت (f(x كثيرة حدود غير ثابتة من [F [X عندئذ يوجد امتداد E للحقل F ، وعنصر u من E بحيث يكون$f(u)=0$