مترية كير

تصف هندسة كير أو مترية كير هندسة الزمكان الفارغ حول ثقب أسود دوار وغير مشحون متماثل محوريًا مع أفق حدث شبه كروي.مترية كير هي الحل الدقيق لمعدلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة. هذه المعادلات غير خطية للغاية، مما يجعل الحلول الدقيقة صعبة جداً.

نظرة عامة

مترية كير هي تعميم لمترية شفارتسشيلد، اكتشفها كارل شفارتسشيلد في عام 1915,

و التي وصفت هندسة الزمكان حول جسم غير مشحون، متماثل كرويا وغير دوار. بعدها بقليل، تم اكتشاف الحل المقابل لجسم مشحون كروي غير دوار، والمعروف بمتريةرايسنر-نوردستروم (1916-1918). ومع ذلك، بقي الحل الدقيق لثقب أسود دوار غير مشحون، مترية كير، دون حل حتى عام 1963، عندما تم اكتشافها من قبل روي كير. بعد ذلك بوقت قصير تم اكتشاف الامتداد الطبيعي لثقب أسود دوار ومشحون، مترية كير - نيومان، في عام 1965. ويمكن تلخيص هذه الحلول الأربعة في الجدول التالي:

	دوار (J#0)	غير دوار (J=0)
غير مشحون (Q=0)	كير	شفارتسشيلد
مشحون (Q#0)	كير - نيومان	رايسنر-نوردستروم

حيث Q يمثل الشحنة الكهربائية للجسم ويمثل J الزخم الزاوي

وفقا لهندسة كير، مثل هذه الثقوب السوداء الدوارة يجب أن تعرض ما يسمى  بسحب الإطار (المعروف أيضا باسم تأثير لينس - ثيرنغ)، وهو تنبؤ مميز للنسبية العامة. كان قياس تأثير سحب الإطار هدفًا رئيسيًا في تجربة مسبار الجاذبية. يتحدث تقريباً هذا التأثير عن أن الأجسام التي تقترب من كتلة دوارة سوف تكون مجبرة للمشاركة  في دورانها، ليس بسبب أي قوة أو عزم يمكن تطبيقه، ولكن بسبب الانحناء الدائم للزمكان نفسه المرتبط بالأجسام الدوارة. على مسافات قريبة كافية، يجب أن تدور جميع الأجسام مع الثقب الأسود (حتى الضوء)، المنطقة التي يحصل فيها هذا التأثر تسمى مجال إرجو.

الثقوب السوداء الدوارة لها أسطح حيث يبدو أن للهندسة خصوصية؛ يعتمد حجم وشكل هذه الأسطح على كتلة والزخم الزاوي للثقب الأسود. السطح الخارجي يحيط بمجال إرغو وله شكل مشابه للكرة المسطحة. يمثل السطح الداخلي «نصف قطر اللاعودة» الذي يسمى أيضًا «أفق الحدث»؛ لا يمكن أبداً للكائنات المارة عبر هذا النطاق أن تتواصل مع العالم الخارجي. ومع ذلك، لا يعتبر كلا السطحين تفردًا حقيقيًا، نظرًا لأنه يمكن إزالة التفرد الظاهري في نظام إحداثي مختلف. يجب أن يتزامن دوران الأجسام بين هذين الأفقين مع الجسم الدوّار، كما هو مذكور أعلاه؛ هذه الميزة يمكن استخدامها لاستخراج الطاقة من الثقب الأسود الدوار، وصولاً إلى طاقة الكتلة الثابتة، Mc².

قدمت تجربة LIGO التي اكتشفت موجات الجاذبية أول ملاحظة مباشرة لزوج من ثقوب كير السوداء.

المعادلات الرياضية

في إحداثيات بوير - ليندكواست

تصف مترية كير هندسة الزمكان في محيط كتلة M تدور مع زخم زاوي J. عنصر الخط في إحداثيات بوير - ليندكواست هو:

${\begin{aligned}-c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}=&-\left(1-{\frac {r_{s}r}{\Sigma }}\right)c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}\\&+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{s}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}-{\frac {2r_{s}ra\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\,c\,dt\,d\phi \end{aligned}}$

(1)

حيث تكون الإحداثيات r,θ,Φ هي نظام الإحداثيات الكروي القياسي، وهو ما يعادل الإحداثيات الديكارتية.:

${x}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi$

(2)

${y}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi$

(3)

${z}=r\cos \theta$

(4)

و RS هو نصف قطر شفارتسشيلد

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

(5)

و حيث تم إدخال المقاييس الطولية Σ ,a و Δ للإيجاز

$a={\frac {J}{Mc}}$

(6)

$\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$

(7)

$\Delta =r^{2}-r_{s}r+a^{2}$

(8)

هناك سمة رئيسية يجب ملاحظتها في المقياس أعلاه وهي مصطلح حاصل الضرب${\begin{aligned}dt\,d\phi \end{aligned}}$.هذا يعني أن هناك اقترانًا بين الوقت والحركة في مستوى محور الدوران الذي يختفي عندما ينتقل الزخم الزاوي للثقب السوداء إلى الصفر.

في الحد غير النسبي حيث يذهب $M$(أو، بالتكافؤ، $r_{s}$) إلى الصفر، تصبح هندسة كير المقياس المتعامد للإحداثيات الكرواني المفلطح.:

$g\mathop {\longrightarrow } \limits _{M\to 0}-c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{r^{2}+a^{2}}}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$

(9)

إجمالي الكتلة $M$(كتلة الانجذاب) للجسم (بما في ذلك طاقته الدورانية) وكتلته غير القابلة للاختزال $Mir$على ارتباط كما تدل هذه المعادلة:

$M_{\rm {irr}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {M^{4}-{\frac {J^{2}c^{2}}{G^{2}}}}}+M^{2}}{2}}}\ \to \ M=2{\sqrt {\frac {M_{\rm {irr}}^{4}}{4M_{\rm {irr}}^{2}-{\frac {a^{2}c^{4}}{G^{2}}}}}}$

إذا تم استخراج كامل الطاقة الدورانية $E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)$ من الثقب الأسود، على سبيل المثال بآلية بنروز، فإن الكتلة المتبقية لا يمكن أن تتقلص تحت الكتلة غير القابلة للاختزال. لذلك، إذا كان الثقب الأسود يدور مع تدويم $a=M$ ، فإن إجمالي الكتلة ${\textstyle M}$ يكون أعلى بعامل ${\sqrt {2}}$بالمقارنة مع ثقب شفارتسشيلد حيث $M$مساوي ل ${\textstyle M_{\rm {irr}}}$والسبب في ذلك هو أنه من أجل تدوير جسم ثابت، يجب تطبيق الطاقة على النظام. وبسبب تكافؤ الكتلة-الطاقة، فإن هذه الطاقة لديها أيضًا مكافئ الكتلة، مما يزيد من إجمالي طاقة النظام.

في إحداثيات كير - شيلد

يمكن التعبير عن مترية كير في شكل «كير - شيلد»، باستخدام مجموعة معينة من الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي. تم اقتراح هذه الحلول من قبل كير وشيلد في عام 1965.

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!$

(10)

$f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr\right]$

(11)

$\mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)$

(12)

$k_{0}=1.\!$

(13)

لاحظ أن k هو متجه وحدة. هنا M هي الكتلة الثابتة لجسم الغزل، η هي موتر مينكوسكي، وهي عبارة عن معلمة دورانية ثابت لجسم الغزل. من المفهوم أن المتجه ${\vec {a}}$ يتم توجيهه على طول المحور z الموجب. لا تمثل الكمية r نصف القطر، وإنما يتم تعريفها ضمنيًا على هذا النحو:

$1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}$

(14)

لاحظ أن الكمية r تصبح نصف القطر المعتاد R

$r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$$r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

عندما تقترب المعلمة الدورانية a من الصفر. في هذا الشكل من الحلول، يتم اختيار الوحدات بحيث تكون سرعة الضوء وحدة (c = 1). على مسافات كبيرة من المصدر (R >> a)، تقل هذه المعادلات إلى نموذج ادينغتون – فينكلستين في مترية شفارتسشيلد.

في نموذج كير – شيلد لهندسة كير، يكون محدد الموتر المتري سالباً في كل مكان، حتى بالقرب من المصدر.

عامل الموجة  

نظرًا لأن مجرد تحقق مباشر في مقياس كير يتضمن عمليات حسابية مرهقة، فإن المكونات المتناقضة $g^{ik}$ لموتر القيس في إحداثيات بوير – ليندكويست موضحة أدناه في التعبير عن مربع عامل رباعي الإنحدار:

${\begin{aligned}g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial {x^{\mu }}}}{\frac {\partial }{\partial {x^{\nu }}}}=&{\frac {1}{c^{2}\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{s}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\left({\frac {\partial }{\partial {t}}}\right)^{2}+{\frac {2r_{s}ra}{c\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial {t}}}\\&-{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {r_{s}r}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial {\phi }}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial {r}}}\right)^{2}-{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial {\theta }}}\right)^{2}\end{aligned}}$

(15)

سحب الإطار

يمكن لنا إعادة كتابة مقياس كير (1) بالشكل التالي::

$c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}.$

(16)

بالتالي، فإن الإطار المرجعي الساكن يجر عن طريق الكتلة المركزية الدوارة للمشاركة في دورانها؛ وهذا ما يسمى ب"سحب الإطار"، وقد تم اختباره تجريبيًا. نوعيا، يمكن النظر إلى سحب الإطار على أنه جاذبية تناظر الحث الكهرومغناطيسي.

إن «متزلجا جليديا»، في مدار فوق خط الاستواء وتدويريا في راحة بالنسبة للنجوم، يمد ذراعيه. ذراع تمتد نحو الثقب الأسود ستلتوي بعزم دوار. أما الذراع الممتد بعيدًا عن الثقب الأسود فستلتوي بعزم دوار عكسي. لذلك سوف يتم تسريعه تدويريا، بإتجاه معاكس لدوران الثقب الأسود. هذا هو عكس ما يحدث في التجارب اليومية. إذا كان بالفعل يدور بسرعة معينة عندما يمد ذراعيه، فسوف تتوازن تأثيرات القصور الذاتي وتأثيرات سحب الإطار ولن يتغير التدويم. بسبب مبدأ التكافؤ، تأثيرات الجاذبية لا يمكن تمييزها محليًا عن تأثيرات القصور الذاتي، لذا فإن معدل الدوران، الذي لا يحدث فيه شيء عندما تمد يدها، هو مرجعها المحلي لعدم الدوران. هذا الإطار يدور بالنسبة للنجوم الثابتة وبدوران مضاد بالنسبة للثقب الأسود. مجاز مفيد هو نظام التروس الكوكبية مع الثقب الأسود كونه ترس الشمس، متزلج الجليد كونه ترس كوكب والكون الخارجي هو ترس حلقي. ويمكن تفسير ذلك أيضًا من خلال مبدأ ماخ.