متباينة غرونفل

سميت متباينة غرونفل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضياتي توماس هاكن غرونفل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المتبانية من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المتباينة في صيغتين: تكاملية، واشتقاقية.

مبرهنة غرونويل

معلومات عامة

سُمِّي باسم	توماس هاكن غرونفل ريتشارد بيلمان
يدرسه	تفاضل وتكامل
زمن الاكتشاف أو الاختراع	1919
تعريف الصيغة	${\begin{aligned}&u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\quad \forall t\in I^{\circ }\\\implies &u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}\quad \forall t\in I\end{aligned}}$
الرموز في الصيغة	$I$ $u$ $\beta$ $\exp$

تعتبر متباينة غرونفل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المتباينة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

الصيغة التكاملية

لو كانت، لكل $t_{0}\leq t\leq t_{1}$، $\phi (t)\geq 0$ و$\psi (t)\geq 0$ دالتين مستمرتين حيث:

$\phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$

لكل $t_{0}\leq t\leq t_{1}$، حيث $K$ و$L$ ثابتين موجبين فإن :

$\phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)$

لكل $t_{0}\leq t\leq t_{1}$

الصيغة الاشتقاقية

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة:

$\phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s$

فإن لدينا اللامساواة التالية:

${\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}(t)\leq L\psi (t)\phi (t).$

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

$\phi (t)\leq \phi (t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)$

لكل $t_{0}\leq t\leq t_{1}.$