اختبار الوحدات

اختبار الوحدات أو فحص الوحدات (بالإنجليزية: Dimension observation أو Dimention consideration) هو اختبار الترابط السليم بين الكميات فيزيائية في معادلة . فمثلا تكون المعادلة سليمة من الوجهة الفيزيائية إذا كانت الوحدات المستخدمة في طرفيها متجانسة. وصحة الوحدات في معادلة معناه صحة المعادلة الفيزيائية . ولكنها لا تعني أن الكميات المستخدمة في المعادلة صحيحة . كما يتيح اختبار الوحدات لمعادة تعيين وحدة الجزء المجهول في المعادلة .

قواعد

الكمية الفيزيائية تكون حاصل ضرب عددا في وحدة . وبناء على ذلك يكون من الوجهة الحسابية أن معادلة تعطي علاقة فيزيائية صحيحة عندما تكون الوحدات على طرفي المعادلة متساويين ، وأن تتساوى الوحدات أيضا في كل جزء من المعادلة يحتوي على عملية جمع أو عملية طرح .

ويمكن ضرب أو قسمة وحدات مختلفة وربطها ببعضها البعض.

بعض الدوال الرياضية تكون صحيحة إذا كان المتغير فيها x عددا لا بعديا ، مثل :

$\log(x)$

$\exp(x)$

$\sin(x)$

امثلة

تعيين وحدات ثابت تناسب

سنأخذ معادلة تجاذب جسمين كتلتهما m و M وتبلغ المسافة بينهما r . ويمكننا للتبسيط حساب قوة التجاذب بينهما( F(r دون اللجوء إلى استخدام حساب المتجهات:

$F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}$

تقول تلك المعادلة الآتي:

• تتناسب ( F(r طرديا مع M
• وتتناسب ( F(r طرديا مع m
• وتتناسب ( F(r عكسيا مع مربع المسافة بينهما r ،

فيكون ثابت التناسب هو G ، والذي نسميه ثابت الجاذبية .

ونريد تعيين وحدة «ثابت الجاذبية» G . وبإعادة ترتيب المعادلة لتعيين G ، نحصل على :

$G=-F\cdot {\frac {r^{2}}{Mm}}$

فإذا علمنا وحدات الكميات على يمين المعادلة ، فإنها تعطينا الوحدة للجزء اليساري من المعادلة:

$\lbrack G\rbrack =\lbrack F\rbrack \cdot \left\lbrack {\frac {r^{2}}{Mm}}\right\rbrack ={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {kg} ^{2}}}={\frac {\mathrm {m} ^{3}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}$

كذلك يكون الطريق العكسي صحيحا : فبمقارنة الوحدات على يمين معادلة بالوحدات على يسار المعادلة يمكننا تعيين وحدة أي كمية مجهولة الوحدة أو الأبعاد .

في الدارة الكهربائية

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.

عند تفريغ مكثف في مقاومة يتبع تغير الجهد دالة أسية للثابت e ويكون الزمن في أس الدالة وبالسالب .

$U=U_{o}\cdot e^{-at}$

وطبقا لما أوضحناه اعلاه لا بد وان تكون a ( وهي خاصية من خصائص المكثف ) بالبُعد [1/ثانية] لكي يصبح حاصل الضرب a·t عدد لا بعدي. ونظرا لأن سعة المكثف تعمل سويا مع المقاومة فيمكن اعتبار أن ثابت التناسب a مكون من هاتين الكميتين . وحاصل ضرب وحدة السعة في وحدة المقاومة يعطي بُعد الزمن .

وبذلك يتضح أن a تتكون كالآتي :

$U=U_{o}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}$

وهذا هو معدل تفريغ المكثف مع الزمن .

كذلك عندما يُشحن المكثف يزداد الجهد من الصفر إلى Uo ، وللتعبير عن ذلك نعطي الأس إشارة موجبة فتصبح الدالة دالة متزايدة :

$U=U_{o}\cdot e^{\frac {t}{RC}}$

وهي تعطي الرسم البياني المبين هنا لتزايد شحنة المكثف مع الزمن .

اقرأ أيضا

• تجانس
• دالة أسية